概率论第一次作业
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第一次
习题 1.2
- 试用事件 \(A_1,\cdots,A_5\) 表示如下各事件:
$$
\begin{array} {ll}
(1) B_1={A_1,\cdots,A_5,\ \text{中至多发生两个}}; & (2) B_2={A_1,\cdots,A_5\ \text{中至少发生两个}};\\ (3) B_3={A_1,\cdots,A_5\ \text{中恰发生两个}}; & (4) B_4={A_1,\cdot,A_5,\ \text{都不发生}}.
\end{array}
$$
解:
-
(1) \(B_1=\bigcup\limits_{i=1}^5\bigcup\limits_{j=i+1}^5\bigcup\limits_{k=j+1}^5 A_i^cA_j^cA_k^c\).
(2) \(B_2=\bigcup\limits_{i=1}^5\bigcup\limits_{j=i+1}^5 A_iA_j\).
(3) \(B_3=\bigcup\limits_{i=1}^5\bigcup\limits_{j=i+1}^5 A_iA_j\prod\limits_{k\neq i\wedge k\neq j}A_k^c\).
(4) \(A_1^cA_2^cA_3^cA_4^cA_5^c\).
- 若 \(A,B,C\) 为随机事件, 说明下列各关系式的概率意义:
$$ (1) ABC=A;\quad(2)A\cup B\cup C=A;\quad (3)AB\subset C\quad (4)A\subset (BC)^c. $$
解:
-
(1) \(A,B,C\) 同时发生的概率等于 \(A\) 发生的概率, 即 \(A\) 同时含于 \(B,C\).
(2) \(A,B,C\) 中至少有一个事件发生的概率等于 \(A\) 的概率, 即 \(B,C\) 均含于 \(A\).
(3) \(A,B\) 同时发生时, \(C\) 也发生.
(4) \(A\) 发生时, \(B,C\) 不同时发生.
- 盒中盛有许多黑球和白球, 从中相继取出 \(n\) 个球, 以 \(A_i\) 表示第 \(i\) 个被取出的球是白球的事件 \((1\leqslant i\leqslant n)\), 试用 \(A_i\) 表示如下事件:
(1) 所有 \(n\) 个球都是白球; (2) 至少有一个白球; (3) 恰有一个白球; (4) 不多于 \(k\) 个白球; (5) 不少于 \(k\) 个白球; (6) 恰有 \(k\) 个白球; (7) 所有 \(n\) 个球同色.
解:
-
(1) \(\prod\limits_{i=1}^n A_i\).
(2) \(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\).
(3) \(A_1\Delta A_2\Delta\cdots\Delta A_n\).
(4) \(\bigcup\limits_{j}A_{j_1}^cA_{j_2}^c\cdots A_{j_{n-k}}^c,\ \{j_1,j_2\cdots,j_{n-k}\}\subseteq\mathbb{Z}\cap[1,n]\wedge j_x\neq j_y,\ \forall x\neq y\).
(5) \(\bigcup\limits_{j}A_{j_1}A_{j_2}\cdots A_{j_k},\ \{j_1,j_2\cdots,j_k\}\subseteq\mathbb{Z}\cap[1,n]\wedge j_x\neq j_y,\ \forall x\neq y\)
(6) \(\bigcup\limits_{p}A_{p_1}A_{p_1}\cdots A_{p_k}A_{p_{k+1}}^c\cdots A_{p_n}^c\), 其中 \(\{p_k\}\) 是 \(1\sim n\) 的排列.
(7) \(A_1A_2\cdots A_n\cup A_1^cA_2^c\cdots A_n^c\).
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