随机变量的方差与标准差

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随机变量的方差与标准差

方差与标准差的定义

方差的性质

以下均假定随机变量的方差存在.

性质

• \(\var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\).

性质

• 常数的方差为 \(0\), 即 \(\var(c)=0\).

性质

• 若 \(a,b\) 是常数, 则 \(\var(aX+b)=a^2\var(X).\)

切比雪夫不等式

定理 切比雪夫

• 设随机变量 \(X\) 的数学期望和方差都存在, 则对任意常数 \(\varepsilon>0\), 有

$$

    P(|X-E(x)|\geqslant\varepsilon)\leqslant\dfrac{\var(X)}{\varepsilon^2},

$$

或

$$

    P(|X-E(x)|<\varepsilon)\geqslant 1-\dfrac{\var(X)}{\varepsilon^2},

$$

我们称事件 \(\{|X-E(X)|\geqslant\varepsilon\}\) 为大偏差, 其概率 \(P(|X-E(X)|\geqslant\varepsilon)\) 称为偏差发生概率.

定理

• 若随机变量 \(X\) 的方差存在, 则 \(\var(X)=0\) 的充要条件是 \(X\) 几乎处处为某个常熟 \(a\), 即 \(P(X=a)=1\).