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曲面积分

曲面的面积

定义

设 $\Omega$ 时 $\mathbb{R}^2$ 中的一个$\text{区域}$, $D\subseteq\Omega$, 且 $D$ 是由分段光滑曲线所围成的有界闭区域. 若存在 $\Omega$ 上的映射

    \bm r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad (u,v)\in\Omega

满足

(1) $\bm r\in C^1(\Omega)$.
(2) $\bm r$ 在 $D^\circ$ 上是双射, 并且对任意的 $(u,v)\in D^\circ$ 有 $\bm r_u\times r_v\neq\bm 0$, 其中 $\times$ 为$\text{向量积}$且称 $\bm r(D)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的一个**光滑曲面**.


若 $S\subseteq\mathbb{R}^3$ 由有限多个光滑曲面拼接而成, 则称之为**分片光滑曲面**.

定义

设 $\Omega,D,\bm r$ 如定义中所给出, $S=\bm r(D)$ 是由方程 \eqref{光滑曲面参数方程} 定义的光滑曲面, 那么 $S$ 的面积为

    \iint\limits_{D} |\bm r_u\times \bm r_v|\text{d} u\text{d} v.

如果 $S$ 是由若干$\text{光滑曲面}$拼接而成, 且这些$\text{光滑曲面}$至多在边界处有公共点, 那么 $S$ 的面积就定义为 $S_i$ 的面积和.

命题

和曲线积分类似, 曲面的面积和参数方程的选取无关.

定义高斯 (Gauss) 系数

为了方便我们将, $\dfrac{\partial x}{\partial u}$ 记作 $x_u$. 同理有 $y_u,z_u,x_v,y_v,z_v$.

我们设
$$

\left\lbrace \begin{array} {l}
    E = |\bm r_u|^2 = x_u^2+y_u^2+z_u^2 \\
    F = \langle\bm r_u,\bm r_v\rangle=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v \\
    G = |\bm r_v|^2 = x_v^2+y_v^2+z_v^2
\end{array}\right.

我们称 $E,F,G$ 为**高斯 (Gauss) 系数**或**曲面的第一基本量**.

此时, 式 \eqref{曲面面积公式} 就变为

    \iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2} \text{d} u\text{d} v.

曲面积分

曲面积分

曲面的面积

第一型曲面积分

曲面的侧与定向

第二型曲面积分

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