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曲线积分

曲线的弧长

定义

• 对于空间中的参数方程

$$

    \left\lbrace 
    \begin{array} {lr}
        x=x(t), & \\
        y=y(t), &\quad t\in[a,b] \\
        z=z(t), &
    \end{array}
    \right.

$$

所定义的曲线段 $C$, 如果对任意的 $a\leqslant t_1<t_2\leqslant b$, 当 $t_1=a$ 与 $t_2=b$ 不同时成立时有  $$ (x(t_1),y(t_1),z(t_1))\neq(x(t_2),y(t_2),z(t_2)), $$  则称 $C$ 是**简单曲线**. 更进一步的, 如果有 $(x(a),y(a),z(a))=(x(b),y(b),z(b))$ 则称 $C$ 为**简单闭曲线**.

定义

• 设曲线段 \(C\) 由 () 所定义. 若存在 \(s\in\mathbb{R}\), 使得对任意的 \(\varepsilon>0\) 而言, 存在 \(\delta>0\), 对由区间 \([a,b]\) 的任意一组满足 \(\max\limits_{i}\Delta t_i<\delta\) 的分点 $$ a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b $$ 所定义的曲线上的点 \(M_i(x(t_i),y(t_i),z(t_i))\) 均有 $$ \left|\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\overline{M_{i-1}M_i}-s\right|<\varepsilon, $$
  那么就称曲线段 \(C\) 是可求长的, 并称 \(s\) 是 \(C\) 的弧长.

类似也可以给出由参数方程

$$

\left\lbrace 
\begin{array}  {c}
    x=x(t),  \\
    y=y(t),
\end{array}
\right. \quad t\in[a,b]

$$

所定义的平面上的曲线段及其弧长定义.

命题

• 设 \(C\) 是由 () 给出的可求长的曲线段, \(\varphi:[c,d]\longrightarrow[a,b]\) 是严格单调的满射, 并记 $$ C_1:\left\lbrace
  \begin{array} {lr}
  x=x(\varphi(u)), & \\ y=y(\varphi(u)), &\quad u\in[c,d] \\ z=z(\varphi(u)), &
  \end{array}
  \right. $$
  那么 \(C_1\) 也是可求长的曲线, 且其弧长等于 \(C\) 的弧长. 简而言之, 曲线的弧长与参数方程的选取无关.

命题

• 如果 \(x(t),y(t),z(t)\) 均在区间 \([a,b]\) 上连续可导, 则由 () 所定义的曲线段 \(C\) 是可求长的, 且弧长为 $$ s=\int_a^b \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}\text d t. $$

命题

• 如果 \(x(t),y(t)\) 均在区间 \([a,b]\) 上连续可导, 那么平面上由 () 所定义的曲线段 \(C\) 是可求长的, 且弧长为 $$ s=\int_a^b \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\text d t. $$

推论

• 对于定义在平面上的极坐标方程 \(r=r(\theta)\ (\theta\in[\alpha,\beta])\) 可以将其视作由参数方程

$$

    \left\lbrace 
    \begin{array} {l}
        x=r(\theta)\cos\theta, \\
        y=r(\theta)\sin\theta, \\
    \end{array}
    \right.
    \quad \theta\in[\alpha,\beta]

$$

那么此时就有  $$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[r'(\theta)]^2+[r(\theta)]^2}\text d\theta. $$

例

• 设 \(a>0\). 对于星形线 (astroid) \(\left\lbrace \begin{array} {c} x=a\cos^3 t, \\ y=a\sin^3 t, \end{array}\right. (t\in[0,2\pi])\) 而言, 其弧长为 $$
  \begin{array} {rl}
  & \mint[0]^{2\pi} \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\text d t \\ &\\ = & 3a\mint[0]^{2\pi} \sqrt{\cos^4 t\sin^2 t+\sin^4 t+\cos^2 t}\text d t \\ & \\ = & 3a\mint[0]^{2\pi}|\sin t\cos t|\text d t = 6a.
  \end{array}
  $$

例

命题

• 简单曲线 \(C\) 的弧长在正交变换下保持不变.

第一型曲线积分

定义

• 设 \(C\) 是一条可求长的曲线, 其两端点是 \(A\) 和 \(B\) (若是闭曲线则 \(A\) 和 \(B\) 是一个点), \(f\) 是定义在 \(C\) 上的一个函数. 如果存在实数 \(I\), 使得对任意的 \(\varepsilon>0\), 均存在 \(\delta>0\), 当我们依次取分点 $$ A=M_0,M_1,\ldots,M_n=B $$ 时, 只要 \(\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\Delta s_i<\delta\) (其中 \(\Delta s_i\) 表示曲线段 \(\widehat{M_{i-1}M_i}\) 的弧长), 就对任意的 \(\bm\xi_i\in\widehat{M_{i-1}M_i}\) 有 $$ \left|\sum\limits_{i=1}^n f(\bm\xi_i)\Delta s_i-I\right|<\varepsilon, $$ 那么就称 \(I\) 为 \(f\) 在 \(C\) 上的第一型曲线积分(line integral of the first kind), 记作 $$ I=\int_C f\ \text{d} s. $$ 特别地, 当 \(C\) 是闭曲线时, 我们也采用记号 $$ I=\oint_C f\ \text{d} s. $$

注

• 当第一型曲线积分存在时, 积分值与曲线的定向无关.

命题

• 设 \(C\) 时一条可求长曲线, \(f\) 与 \(g\) 是定义在 \(C\) 上的两个函数,

  (1) 如果 \(f\) 与 \(g\) 在 \(C\) 上的第一型曲线积分都存在, 那么对任意的 \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\), \(\alpha f+\beta g\) 在 \(C\) 上的第一型曲线积分存在并且, $$ \int_C (\alpha f + \beta g)\text{d} s=\alpha\int_C f\text{d} s + \beta\int_C g\text{d} s. $$
  (2) 如果 \(C=C_1\cup C_2\), \(C_1,C_2\) 均是可求长曲线, 且公共点为端点, 那么当 \(C_1,C_2\) 的第一型曲线积分都存在时, \(f\) 在 \(C\) 上的第一型曲线积分也存在, 且 $$ \int_C f\text{d} s=\int_{C_1} f\text{d} s+\int_{C_2} f\text{d} s. $$

定义

• 设 \(C\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中的光滑曲线段, 即存在参数方程 $$ \left\lbrace \begin{array} {c}
  x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t),
  \end{array}\right. t\in [a,b] $$ 表示 \(C\), 且 \(x(t),y(t),z(t)\) 均在 \([a,b]\) 上连续可微.

取分点 ,求黎曼和, 用积分第一中值定理及闵可夫斯基不等式进行等价, 可得上述光滑曲线段的第一型曲线积分为

$$

\int_C f(x,y,z)\text{d} s=\int_a^b f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2} \text{d} t.

$$

类似地, 如果是平面上的曲线, 则有

$$

\int_C f(x,y)\text{d} s=\int_a^b f(x(t),y(t)) \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} \text{d} t.

$$

第二型曲线积分

定义

• 设 \(C\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中的一条定向的可求长的曲线, 起点为 \(A\), 终点为 \(B\), 在 \(C\) 上定义映射 \(f=(P,Q,R)^T:C\longrightarrow \mathbb{R}^3\). 若存在实数 \(I\), 使得对任意的 \(\varepsilon>0\), 均存在 \(\delta>0\), 当我们在 \(C\) 上从 \(A\) 到 \(B\) 依次取分点 $$ A=M_0,M_1,\ldots,M_n=B $$ 时, 只要 \(\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}\overline{M_{i-1}M_i}<\delta\), 就对任意的 \(\bm\xi_i\in\widehat{M_{i-1}M_i}\) 有 $$ \left|\sum\limits_{i=1}^n\left-I\right|<\varepsilon, $$ 则称 \(I\) 为 \(f=(P,Q,R)^T\) 沿定向曲线 \(C\) 的第二型曲线积分 (line integral of the second kind). 也称作 \(f\) 沿道路 \(\widehat{AB}\) 的第二型曲线积分, 记作 $$ I=\int_C P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z=\int_{\widehat{AB}}P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z. $$ 特别地, 当 \(C\) 是闭曲线时, 我们也采用记号 $$ I=\oint_C P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z. $$

  类似可定义 \(\mathbb{R}^2\) 中定向曲线 \(C\) 的第二型曲线积分 $$ \int_C P\text{d} x+Q\text{d} y. $$

注

• 在计算第二型曲线积分时, 需注意曲线的定向, 因为对于以 \(A,B\) 为端点的曲线 $$ \int_{\widehat{AB}}P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z=-\int_{\widehat{BA}}P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z $$

命题

• 设 \(\widehat{AB}\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中的一条可求长的定向曲线, \(f=(P_1,Q_1,R_1)^T\) 和 \(g=(P_2,Q_2,R_2)^T\) 均是从 \(\widehat{AB}\) 到 \(\mathbb{R}^3\) 的映射.

  (1)若 \(f\),\(g\) 沿 \(\widehat{AB}\) 的第二型曲线积分均存在, 则对任意的 \(\alpha,\beta\in \mathbb{R},\ \alpha f+\beta g\) 沿 \(\widehat{AB}\) 的第二型曲线积分也存在, 并且等于 $$ \alpha\left(\int_{\widehat{AB}} P_1\text{d} x+Q_1\text{d} y+R_1\text{d} z\right)+\beta\left(\int_{\widehat{AB}}P_2\text{d} xQ_2\text{d} yR_2\text{d} z\right). $$
  (2) 设 \(D\) 是 \(\widehat{AB}\) 上一点, 如果 \(f\) 沿 \(\widehat{AD}\) 和 \(\widehat{DB}\) 的第二型曲线积分均存在, 则 \(f\) 沿 \(\widehat{AB}\) 的第二型曲线积分也存在, 并且等于 $$ \int_{\widehat{AD}} P_1\text{d} x+Q_1\text{d} y+R_1\text{d} z+\int_{\widehat{DB}} P_1\text{d} x+Q_1\text{d} y+R_1\text{d} z. $$

设 \(\widehat{AB}\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 中的定向光滑曲线段, 再设 $$ f(P,Q,R)^T:\widehat{AB}\longrightarrow \mathbb{R}^3. $$

则有 $$ \begin{array} {rl}
\mint[\widehat{AB}] P\text{d} x+Q\text{d} y+R\text{d} z=&\mint[a]^b[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)\\ &+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)]\text{d} t
\end{array} $$

格林公式

定义

• 对于 \(\mathbb{R}^2\) 平面上的\(\text{有界闭区域}\) \(D\), 其边界 \(\partial D\), 是由有限条光滑曲线组成. 当在边界上行走时, 如果与之相邻的区域的内部总是在左侧, 则称这个方向是正向

定理 格林公式

• 设 \(S\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的有界闭区域, \(\partial S\) 由有限多条分段光滑曲线组成, 若 \(P,Q\in C^1(S)\), 则

$$

    \int_{\partial S}P\text{d} x+Q\text{d} y = \iint\limits_S\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d} x\text{d} y

$$

其中 $\partial S$ 的定向为正向.

在定理 条件下, 再设 \(u(x,y)\) 在 \(S\) 上连续可微, 那么将 () 中的 \(P\) 换为 \(uP\), 并取 \(Q=0\) 可得

$$

\int_{\partial S} uP\text{d} x = -\iint\limits_{S}\frac{\partial(uP)}{\partial y}\text{d} x\text{d} y = -\iint\limits_{S}\left(P\frac{\partial u}{\partial y}+u\frac{\partial P}{\partial y}\right) \text{d} x\text{d} y,

$$

也即

$$

-\iint\limits_{S}u\frac{\partial P}{\partial y}\text{d} x\text{d} y=\int_{\partial S}uP\text{d} x+\iint\limits_{S} P\frac{\partial u}{\partial y}\text{d} x\text{d} y.

$$

同理, 将 \(Q\) 换为 \(uQ\) 可得,

$$

\iint\limits_{S}u\frac{\partial Q}{\partial x}\text{d} x\text{d} y=\int_{\partial S}uQ\text{d} y-\iint\limits_{S} Q\frac{\partial u}{\partial x}\text{d} x\text{d} y.

$$

相加后可得,

$$

\iint\limits_{S}u\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d} x\text{d} y=\left(\int_{\partial S}uP\text{d} x + uQ\text{d} y\right)-\iint\limits_{S}\left( Q\frac{\partial u}{\partial x}-P\frac{\partial u}{\partial y}\right)\text{d} x\text{d} y.

$$

以上三式均被称作平面上的分部积分公式.

定义

• 对于 \(\mathbb{R}^2\) 中的一个区域 \(D\), 若 \(D\) 中任意一条简单闭曲线所围成的区域均包含于 \(D\), 则称 \(D\) 是单连通的 (simply connected), 否则称 \(D\) 为多连通的 (multiply connected) 或者称作复连通的.

命题

• 利用\(\text{格林公式}\)计算闭曲线围成的面积. 设 \(S\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的一个\(\text{有界闭区域}\), 且 \(\partial S\) 由有限多条\(\text{光滑曲线}\)组成, 那么由\(\text{格林公式}\)知

$$

    \mu(S)=\iint\limits_{S}\text{d} x\text{d} y = \int_{\partial S}x\text{d} y=-\int_{\partial S}y \text{d} x.

$$

更进一步的, 有

$$

    \mu(S)=\frac 1 2\int_{\partial S}x\text{d} y-y\text{d} x.

$$

虽然看上去 () 和 () 没有实质上的差异. 但在实际计算中, 如果曲线有一定的对称性 () 能带来很大的便利.

定理

• 设 \(D\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的一个\(\text{单连通}\)区域, \(P,Q\in C^1(D)\), 则下列命题等价:

  (1) 对 \(D\) 中任意两点 \(A,B\) 以及 \(D\) 中从 \(A\) 到 \(B\) 的任意两条分段\(\text{光滑曲线}\) \(C_1,C_2\) 有 $$ \int_{C_1} P\text{d} x+Q\text{d} y = \int_{C_2}P\text{d} x+\text{d} y. $$
  即\(\text{第二型曲线积分}\)与路径无关.
  (2) 对于 \(D\) 中由有限多条\(\text{光滑曲线}\)组成的任一\(\text{闭曲线}\) \(C\) 有 $$ \int_C P\text{d} x+Q\text{d} y = 0. $$
  (3) 在 \(D\) 上有 \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\).

应用: 调和函数

定义

• 设 \(D\) 是一个平面 (闭) 区域, \(f\) 是定义在 \(D\) 上的具有二阶偏导数的函数, 若在 \(D\) 上有 $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0, $$
  则称 \(f\) 是 \(D\) 上的调和函数 (harmonic function).

  通常记 $$ \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, $$ 并称 \(\Delta = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}\) 为拉普拉斯算子 (Laplace operator).

性质 拉普拉斯算子在正交变换下的不变性

• 设 \(f\) 是 \(C^2\) 类的\(\text{调和函数}\), \(\\ \\A=\left[\begin{array} {cc} a & b \\ c & d \end{array}\right]\) 是一个\(\text{正交矩阵}\), \(g(x,y)=f(ax+by,cx+dy)\). 则有 \(\Delta f = \Delta g\).

%\setlength{\arraycolsep}{3pt}

证明

• 记 \(x'=ax+by,y'=cx+dy\), 利用\(\text{偏导数的链式法则}\)可得

$$

    \setlength{\arraycolsep}{0.5pt}
    \begin{array} {rcl}
        \Delta g &=& \dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2} \\
        &=& \dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial g}{\partial x'}\cdot\dfrac{\partial x'}{\partial x}+\dfrac{\partial g}{\partial y'}\cdot\dfrac{\partial y'}{\partial x}\right)+\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial g}{\partial x'}\cdot\dfrac{\partial x'}{\partial y}+\dfrac{\partial g}{\partial y'}\cdot\dfrac{\partial y'}{\partial y}\right) \\
        &=&\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot a+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot c\right)+\dfrac{\partial }{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot b+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot d\right) \\
        &=&\dfrac{\partial }{\partial x'}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot a+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot c\right)\dfrac{\partial x'}{\partial x}+\dfrac{\partial }{\partial y'}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot a+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot c\right)\dfrac{\partial y'}{\partial x} \\
        &&+\dfrac{\partial }{\partial x'}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot b+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot d\right)\dfrac{\partial x'}{\partial y}+\dfrac{\partial }{\partial y'}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x'}\cdot b+\dfrac{\partial f}{\partial y'}\cdot d\right)\dfrac{\partial y'}{\partial y} \\
        &=& (a^2+b^2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial {x'}^2}+(c^2+d^2)\dfrac{\partial^2 f}{\partial {y'}^2}+(ac+ac+bd+bd)\dfrac{\partial^2 f}{\partial x'\partial y'}\\
        &=& \dfrac{\partial^2 f}{\partial {x'}^2}+\dfrac{\partial^2 f}{\partial {y'}^2} = \Delta f.
    \end{array}

$$

上述最后一行利用了正交矩阵的性质, 任意两行向量点积是 $0$, 即 $ac+bd=0$.

更进一步的, 如果是 $n$ 元调和函数 $g(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(x_1',x_2',\ldots,x_n')$ 其中, $(x_1',\ldots,x_n')^T=A(x_1,\ldots,x_n)^T$, 且 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵.

那么有 $\dfrac{\partial x_i'}{\partial x_j}=a_{i,j}$.

则

$$

    \setlength{\arraycolsep}{0.5pt}
    \begin{array} {rcl}
        \Delta g &=&\sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\partial^2 g}{\partial x_i^2}\\ 
        &=& \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{\partial}{\partial x_i}(\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{\partial g}{\partial x_j'}\cdot\dfrac{\partial x_j'}{\partial x_i}) \\ 
        &=& \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\partial}{\partial x_k'}(\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_j'}\cdot a_{j,i})\dfrac{\partial x_k'}{\partial x_i} \\ 
        &=& \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\partial}{\partial x_k'}(\sum\limits_{j=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial x_j'}\cdot a_{j,i}) a_{k,i} \\ 
        &=&\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n a_{k,i}a_{j,i}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_k'\partial x_j'} \\ 
        &=&\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\partial^f}{\partial x_k'^2}=\Delta f.
    \end{array}

$$

利用到了 $\sum\limits_{i=1}^n a_{j,i}a_{k,i}=\left\lbrace \begin{array}  {c}
    1,\quad j=k \\
    0,\quad j\neq k
\end{array}\right.$

引理

• 设 \(D\) 是平面上由有限多条\(\text{光滑曲线}\)所围城的\(\text{有界闭区域}\), \(u\) 和 \(v\) 是定义在 \(D\) 上的两个函数, 且 \(u\in C^2(D),\ v \in C^1(D)\), 则 $$ \iint\limits_{D}v\Delta u\text{d} x\text{d} y = -\int\limits_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\ \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\ \frac{\partial v}{\partial y}\right) $$