图形的对称群

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图形的对称(性)群

定义

• 平面上(或空间中)的一个变换 \(\sigma\) 如果保持任意两点的距离不变, 那么称 \(\sigma\) 是平面上(或空间中)的一个正交点变换(或保距变换)(isometry).

定义

• 平面上(或空间中)的一个正交点变换 \(\sigma\) 如果使得图形 \(\Gamma\) 的像与自身重合, 那么称 \(\sigma\) 是图形 \(\Gamma\) 的\mydef[对称变换]{对称(性)变换}.

  容易验证, \(\Gamma\) 的所有对称变换构成一个群, 称为\mydef[对称群]{图形 \(\Gamma\) 的对称(性)群}.

我们一般用 \(\tau\) 来表示图形关于直线反射(轴对称)的对称变换, 用 \(\sigma\) 来表示关于图形中心旋转得到的对称变换.

用 \(D_n\) 表示正 \(n\) 边形的对称群.

当 \(n=4\) 时, 正方形一共有四条对称轴对应 \(\tau_1,\tau_2,\tau_3,\tau_4\), 且每转动 \(90^\circ\) 都重合对应着 \(\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\sigma_4=I\).

经过研究, \(D_4=\{I,\sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau_1,\tau_2,\tau_3,\tau_4\}\). 同时 \(\tau_i\) 也可以由 \(\sigma\) 和 \(\tau_1\) 表示. 所以也可以把 \(D_4\) 简单的记作 $$ D_4=\langle \sigma,\tau|\sigma^4=\tau^2=I,(\tau\sigma)^2=I\rangle. $$

类似的, 对于 \(D_n\) 也可以记作 \(\langle \sigma,\tau|\sigma^n=\tau^2=(\tau\sigma)^2=I\rangle\).

由于 \(\tau\sigma=\sigma^{-1}\tau=\sigma^{n-1}\tau\neq\sigma\tau\), 所以 \(D_n\) 是非 \(\text{Abel}\) 群.

我们称 \(D_n\) 为二面体群, 且有 \(|D_n|=2n\).