可解群,单群,Jordan-Holder定理

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可解群, 单群, $\text{Jordan-Holder}$ 定理

定义

称 $xyx^{-1}y^{-1}$ 为 $x,y$ 的换位子, 记作 $[x,y]$. 我们有 $$ xy=yx\Leftrightarrow xyx^{-1}y^{-1}=e. $$

定义

群 $G$ 的所有换位子组成的子集的子群称为 $G$ 的换位子群或导群, 记作 $G'$ 或 $[G,G]$, 即 $$ G'=\langle{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G}\rangle. $$ 立即可以得到 $$ G\ \text{是 Abel 群}\Leftrightarrow G'={e} $$

命题

设 $\sigma$ 是 $G$ 到 $\widetilde{G}$ 的一个同态, 则 $$ \text{Im}\sigma\ \text{为 Abel 群}\Leftrightarrow G'\subseteq \text{Ker}\sigma. $$

证明

\begin{array} {rcl}
    \text{Im}\sigma\ \text{为 Abel 群} & \Leftrightarrow & \sigma(x)\sigma(y)=\sigma(y)\sigma(x),\quad\forall \sigma(x),\sigma(y)\in\text{Im}\sigma \\
    &\Leftrightarrow&\sigma(xy)\sigma(x)^{-1}\sigma(y)^{-1}=\widetilde{e}\\
    &\Leftrightarrow&\sigma(xyx^{-1}y^{-1})=\widetilde{e}\\
    &\Leftrightarrow&xyx^{-1}y^{-1}\text{Ker}\sigma\\
    &\Leftrightarrow&\{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G\}\subseteq\text{Ker}\sigma
\end{array}

又 $\text{Ker}\sigma$ 也是一个群, 所以 $\{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G\}\subseteq G'\subseteq \text{Ker}\sigma$.

命题

$G'\lhd G$.

命题

$G/G'$ 是 $\text{Abel}$ 群.

命题

设 $N\lhd G$, 则 $$ G/N\ \text{为 Abel 群}\Leftrightarrow G'\subseteq N. $$

定义

设 $G$ 是一个群, $G'$ 的换位子群记作 $G^{(2)},\ldots,G^{(k-1)}$ 的换位子群记作 $G^{(k)},\ldots$. 如果存在正整数 $k$ 使得 $G^{(k)}=\{e\}$, 那么称 $G$ 是可解群, 否则称不可解群.

定理

群 $G$ 可解当且仅当存在 $G$ 的递降子群列: $$ G=G_0\rhd G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_s={e}. $$ 并且每个商群 $G_{i-1}/G_i$ 都是 $\text{Abel}$ 群.

定理

可解群的每个子群和同态像都是可解群.

推论

可解群的商群是可解群.

定理

设 $N\lhd G$, 若 $N$ 和 $G/N$ 可解, 那么 $G$ 可解.

定义

如果群 $G$ 只有平凡的正规子群 $\{e\}$ 和 $G$, 那么称 $G$ 是单群.

定理

$\text{Abel}$ 群 $G$ 是单群当且仅当 $G$ 是素数阶循环群.

定理

若非 $\text{Abel}$ 群 $G$ 是单群, 则 $G$ 不可解.

定义

群 $G$ 的一个递降的子群列:
$$

G=G_0\rhd G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_r=\{e\},

称为 $G$ 的一个**次正规子群列**. 其商群组

    G_0/G_1,\quad G_1/G_2,\quad\cdots,\quad G_{r-1}/G_r

称为 \eqref{次正规子群列式} 的**因子群组**, 其中含有非单位元的因子群的个数称为 \eqref{次正规子群列式} 的长度.

定义

群 $G$ 的一个次正规子群列如果满足每个因子群都是单群, 那么称为合成群列.

命题

每个有限群至少有一个合成群列.

推论

有限群 $G$ 可解当且仅当存在次正规子群列满足每个因子群都是素数阶循环群.

定理 $\text{Jordan-Holder}$ 定理

有限群 $G$ 的任意两个无重复项的合成群列有相同的长度, 并且其因子群组能用某种方法配对, 使得对应的因子群式同构的.

可解群,单群,Jordan-Holder定理

可解群, 单群, \(\text{Jordan-Holder}\) 定理

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