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绪论

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定义

• 设 \(R\) 是一个非空集合, 在其上定义加法和乘法, 若满足下列性质

  (1)(加法交换律) \(a+b=b+a,\forall\ a,b\in R\).
  (2)(加法结合律) \((a+b)+c = a+(b+c),\forall\ a,b,c\in R\).
  (3) 存在零元, 记作 \(0\).
  (4) 存在负元, 记作 \(-a\).
  (5)(乘法结合律) \((ab)c=a(bc),\forall\ a,b,c\in R\).
  (6)(乘法分配律) \(a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca\).

  则称 \(R\) 是一个环.

定义

• 如果环 \(R\) 中有一个元素 \(e\) 具有下述性质: $$ ea=ae=a,\quad\forall a\in R, $$ 那么称 \(e\) 是 \(R\) 的单位元 (\(\neq 0\)), 并称 \(R\) 是幺环.

定义

• 设 \(R\) 是幺环. 对于 \(a\in R\), 如果存在 \(b\in R\) 使得 $$ ab=ba=e $$ , 那么称 \(a\) 是一个可逆元(或单位), \(b\) 称作 \(a\) 的逆元, 记作 \(a^{-1}\).

定义

• 幺环 \(R\) 的所有\(\text{单位}\)关于 \(R\) 上的乘法构成一个群, 称之为 \(R\) 的单位群.

定义

• 设 \(R\) 是一个环. 对于 \(a\in R\), 如果存在 \(c\in R\) 且 \(c\neq 0\), 使得 \(ac=0\)(或 \(ca=0\)), 那么称 \(a\) 是一个左零因子(或右零因子). 二者统称零因子.

定义

• 设 \(F\) 是交换幺环, 如果 \(F\) 中每个非零元素都是可逆元, 那么称 \(F\) 是一个域.

定义

• 设 \(G\) 是一个非空集合. 如果在 \(G\) 上定义了一个代数运算, 通常称作乘法, 并且满足:

  (1) \((ab)c=a(bc),\ \forall\ a,b,c\in G\) (结合律);
  (2) \(G\) 中存在单位元 \(e\).
  (3) \(G\) 中每个元素都可逆.

  那么称 \(G\) 是一个群.

定义

• 当群 \(G\) 中只有有限个元素时, 称 \(G\) 为有限群, 且元素个数称为 \(G\) 的阶, 记作 \(|G|\). 否则称 \(G\) 是无限群.

注

• 只有有限阶群才有群的阶, 做题时要注意题设条件.