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模

环上的模, 子模, 商模, 模同态

定义

• 设 \(M\) 是一个 \(\text{Abel}\) 加法群, \(R\) 是幺环. 如果 \(R\times M\) 到 \(M\) 有一个映射: \((r,a)\mapsto ra\), 并且满足下列 \(4\) 条法则： \(\forall a_1,a_2,a\in M,r,r_1,r_2\in R\), 有

  (1) \(r(a_1+a_2)=ra_1+ra_2\).
  (2) \((r_1+r_2)a=r_1a+r_2a\).
  (3) \((r_1r_2)a=r_1(r_2a)\).
  (4) \(1a=a\).

  那么称 \(M\) 是环 \(R\) 上的一个左模或一个左 \(R\)-模.

  特别的, 幺环 \(R\) 中的加法群 \((R,+)\) 是 \(R\) 的一个左模, 称它为 \(R\) 的左正则模或左正则 \(R\)-模.

同样, 我们可以类似地定义右模.

定义

• 设 \(M\) 是一个 \(\text{Abel}\) 加法群, \(R\) 是幺环. 如果 \(R\times M\) 到 \(M\) 有一个映射: \((r,a)\mapsto ra\), 并且满足下列 \(4\) 条法则： \(\forall a_1,a_2,a\in M,r,r_1,r_2\in R\), 有

  (1) \((a_1+a_2)r=a_1r+a_2r\).
  (2) \(a(r_1+r_2)=ar_1+ar_2\).
  (3) \(a(r_1r_2)=(ar_1)r_2\).
  (4) \(a1=a\).

  那么称 \(M\) 是环 \(R\) 上的一个右模或一个右 \(R\)-模.

  特别的, 幺环 \(R\) 中的加法群 \((R,+)\) 是 \(R\) 的一个右模, 称它为 \(R\) 的右正则模或右正则 \(R\)-模.

定义

• 设 \(R\) 是交换幺环, \(M\) 是 \(R\) 的左模, 令 $$ ar:=ra,\quad\forall a\in M,r\in R. $$
  则 \(M\) 也是右模, 此时称 \(M\) 是 \(R\)-模.

命题

• 设 \(M\) 是幺环 \(R\) 的左模, 则 \(\forall r,r_1,\ldots,r_m\in R,a_1,a_2,\ldots,a_n\in M\), 有

  (1) \(r0=0\).
  (2) \(r(-a)=-ra\).
  (3) \(0a=0\).
  (4) \((-r)a=-ra\).
  (5) \(r\sum\limits_{i=1}^na_i=\sum\limits_{i=1}^n ra_i\).
  (6) \((\sum\limits_{i=1}^m r_i)a=\sum\limits_{i=1}^m r_ia\).

定义

• 设 \(M\) 是幺环 \(R\) 的左模, \(H\) 是 \(M\) 的非空子集. 如果 \(H<M\), 并且对任意的 \(r\in R,h\in H\), 都有 \(rh\in H\). 那么称 \(H\) 是 \(M\) 的子模.

  特别的, 我们称 \(\{0\}\) 和 \(M\) 是 \(M\) 的平凡子模.

注

• 下面的研究均针对左模, 对于右模的结论可类似得到.

  因而下述商模等定义可看作左商模等.

定义

• 设 \(\{H_i\}\) 是 \(M\) 的子模, 规定 $$ H_1+H_2+\cdots+H_t:={h_1+h_2+\cdots+h_t|h_i\in H_i}. $$ 容易验证这是 \(M\) 的一个子模, 称为子模的和.

  如果 \(H_1+H_2+\cdots+H_t\) 中每个元素的表示方式均唯一, 那么称之为\mydef[模的内直和]{内直和}.

定义

• 设 \(M\) 和 \(\widetilde{M}\) 是 \(R\) 的两个左模, 如果存在一个 \(\eta\), 并且 \(\eta\) 和环 \(R\) 的作用可交换, 即 $$ \eta(rx)=r[\eta(x)],\quad \forall r\in R,x\in M. $$ 那么称 \(\eta\) 为模同态, 如果 \(\eta\) 是群同构, 则称为模同构.

定义

• 类似群和环中的定义, 我们可以定义模对其子模的商模.

类似的, 我们也有下述定理.

定理 模同态基本定理

• 设 \(M\) 和 \(\widetilde{M}\) 都是左 \(R\)-模, 若 \(\eta\) 是模同态, 则 \(\text{Ker}\eta\) 是 \(M\) 的一个子模, \(\text{Im}\) 是 \(\widetilde{M}\) 的一个子模, 且有 $$ M/\text{Ker}\eta\cong\text{Im}\eta. $$

自由模

定义

• 设 \(R\) 是幺环, \(M\) 是左 \(R\)-模. 如果 \(M\) 有一个子集 \(S\), 满足

  (1) \(M\) 中每个元素 \(x\) 能表示成 \(S\) 中有限多个元素的 \(R\)-线性组合: $$ x=r_1\alpha_{i_1}+r_2\alpha_{i_2}+\cdots+r_m\alpha_{i_m}, $$ 其中 \(\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_m}\}\subseteq S,\ r_1,r_2,\ldots,r_m\in R,m\in \mathbb{N}^*\).
  (2) \(S\) 的任一有限子集 \(S_1=\{\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\ldots,\alpha_{j_t}\}\) 是 \(R\)-线性无关的, 即从 \(r_1\alpha_{j_1}+r_2\alpha_{j_2}+\cdots+r_t\alpha_{j_t}=0\) 可以推出 $$ r_1=r_2=\cdots=r_t=0, $$

  那么称 \(S\) 是 \(M\) 的一个基.

定义

• 若左 \(R\)-模 \(M\) 有一个基, 则称 \(M\) 是自由左 \(R\)-模.

定理

• 设 \(M\) 是一个自由左 \(R\)-模, \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\) 是 \(M\) 的一个基. 设 \(\widetilde{M}\) 是任一左 \(R\)-模, 任取 \(\widetilde{M}\) 的 \(n\) 个元素 \(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\). 令 $$ \begin{array} {rcl}
  \sigma:M& \to & \widetilde{M}\\ x=\sum\limits{i=1}^n r_i\alpha_i & \mapsto & \sum\limits_{i=1}r_i\beta_i,
  \end{array} $$ 则 \(\sigma\) 是模同态, 且 \(\sigma(\alpha_i)=\beta_i\). 并且满足把 \(\alpha_i\) 映成 \(\beta_i\) 的模同态是唯一的.

定理

• 设 \(M\) 是一个以 \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\) 为基的自由左 \(R\)-模, 则 \(M\cong R^n\).

引理

定理

• 设 \(R\) 是交换幺环, \(M\) 是有有限基的自由模, 则 \(M\) 的任意两个基所含元素个数相等.

定义

• 设 \(R\) 是交换幺环, \(M\) 是一个有有限基的自由模, 则 \(M\) 的基所含的元素个数称为 \(M\) 的\mydef[自由模的秩]{秩}.

定理

• 设 \(R\) 是\(\text{主理想整环}\), \(M\) 是秩为 \(n\) 的自由模, 则 \(M\) 的任意子模 \(N\) 也是自由模, 且 \(N\) 的秩不超过 \(n\).

注

• 如果 \(R\) 不是主理想整环, 那么自由模的子模不一定是自由模, 可参考下述例子.

例

• 设 \(R=\mathbb{Z}_6\), 则 \(R\) 是秩为 \(1\) 的自由模, 但 \(2R=\{0,2,4\}\) 是 \(R\) 的子模却不是自由模.

  可以发现 \(2R\) 中的元素自身就线性相关, 故均不在基中, 从而 \(2R\) 没有基.