本文内容由简易程序从latex批量转义而来, 排版并不友好, 相对精美版请见课程整理

整环的整除性

整除关系, 不可约元, 素元, 最大公因子

定义

• 设 \(R\) 是\(\text{整环}\), 对于 \(a,b\in R\), 若存在 \(c\in R\), 使得 \(a=bc\), 则称 \(b\) 整除 \(a\), 记作 \(b\mid a\). 否则称 \(b\) 不能整除 \(a\), 记作 \(b \nmid a\). 当 \(b\mid a\) 时, 称 \(b\) 是 \(a\) 的因子, \(a\) 是 \(b\) 的倍元.

性质

• (1)由\(\text{整除}\)的定义立即得到: 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, \(b\mid a\Leftrightarrow (a)\subseteq(b)\).
  (2)任意元素都是 \(0\) 的一个因子. 特别的, \(0\) 也是 \(0\) 的因子.
  (3)在\(\text{整环}\)中 \(u\text{ 可逆}\Leftrightarrow\ \exists\ v\in R,\ s.t.\ uv=1\Leftrightarrow u\mid 1\Leftrightarrow 1\in (u)\Leftrightarrow (u)=R\).
  (4)设 \(u\) 可逆, 则 \(\forall\ a\in R,\) 有 \(a=u(u^{-1}a)\), 从而 \(u\mid a\).
  因此可逆元是 \(R\) 中任意元素的\(\text{因子}\).
  (5) 若 \(b\mid a_1,b\mid a_2\) 则有 $$ b\mid(r_1a_1+r_2a_2),\quad\forall\ r_1,r_2\in R. $$

定义

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, 若 \(b\mid a\wedge a\mid b\), 则称 \(a\) 与 \(b\) 相伴, 记作 \(a\sim b\).

容易验证, \(\text{相伴}\)是 \(R\) 上的一个\(\text{等价关系}\).

命题

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, \(a\sim b\) 当且仅当存在可逆元 \(u\) 使得 \(a=bu\).

推论

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, 若 \(a\sim b,c\sim d\), 则 \(ac\sim bd\).

定义

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, 若 \(b\mid a\) 但是 \(a\nmid b\) (即 \(b\) 是 \(a\) 的一个\(\text{因子}\), 但是 \(b\) 不是 \(a\) 的\(\text{相伴}\)元), 则称 \(b\) 是 \(a\) 的一个真因子.

定义

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, \(a\) 的任一\(\text{相伴}\)元, 以及 \(R\) 中任一可逆元都是 \(a\) 的\(\text{因子}\), 称这些\(\text{因子}\)是 \(a\) 的平凡因子. 其他因子称为 \(a\) 的非平凡因子.

定义

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, 设 \(a\neq 0\), 且 \(a\) 不可逆. 如果 \(a\) 只有\(\text{平凡因子}\), 那么称 \(a\) 是不可约的, 否则称 \(a\) 是可约的.

利用\(\text{相伴}\)的性质可以推出, \(\text{不可约元}\)的\(\text{相伴}\)元也是\(\text{不可约元}\).

定义

• 设 \(a\neq 0\), 且 \(a\) 不可逆. 如果从 \(a\mid bc\) 可以推出 \(a\mid b\) 或 \(a\mid c\), 那么称 \(a\) 是一个素元.

命题

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, \(\text{素元}\)一定是\(\text{不可约元}\).

命题

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, \(a\) 为素元当且仅当 \((a)\) 是非零\(\text{素理想}\)

定义

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, 对于 \(a,b\in R\). 如果有 \(c\in R\) 使得 \(c\mid a\wedge c \mid b\) 那么称 \(c\) 是 \(a\) 与 \(b\) 的一个公因子. 如果 \(a\) 与 \(b\) 的一个公因子 \(d\) 满足: 对于 \(a,b\) 的任一公因子 \(c\) 有 \(c\mid d\). 那么称 \(d\) 是 \(a,b\) 的一个最大公因子.

性质

• 若 \(d_1,d_2\) 是 \(a\) 与 \(b\) 的最大公因子, 那么从定义 得出, \(d_1\sim d_2\). 反之, 若 \(d_1\) 是 \(a,b\) 的\(\text{最大公因子}\), 且 \(d_1\sim d_2\), 则 \(d_2\) 也是 \(a\) 与 \(b\) 的一个最大公因子. 记作 \((a,b)\).

命题

• 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, 如果每一对元素都有\(\text{最大公因子}\), 那么对任意 \(a,b,c\in R\), 有 \((ca,cb)\sim c(a,b)\).

欧几里得整环, 主理想整环, 唯一因子分解整环

定义

• 设 \(R\) 为\(\text{整环}\), 如果存在 \(R^*\ (R^*=R\backslash\{0\})\) 到 \(\mathbb{N}\) 的一个映射 \(\delta\), 使得对任意 \(a,b\in R\wedge b\neq 0\), 都有 \(h,r\in R\) 满足 $$ a=hb+r,\quad r=0\ \text{或}\ r\neq0\ \text{且}\ \delta(r)<\delta(b), $$ 那么称 \(R\) 是一个欧几里得整环.

定理

• \(\text{欧几里得整环}\) \(R\) 的每一个\(\text{理想}\)都是\(\text{主理想}\).

定义

• 设 \(R\) 为\(\text{整环}\), 如果 \(R\) 的每一个\(\text{理想}\)都是\(\text{主理想}\), 那么称 \(R\) 是一个主理想整环.

定理

• 设 \(R\) 是\(\text{主理想整环}\), 则 $$ a\ \text{是}\text{不可约元}\Leftrightarrow (a) \text{ 是非零}\text{极大理想}. $$

推论

• 设 \(R\) 是\(\text{主理想整环}\), 则 \(R\) 的\(\text{不可约元}\) \(a\) 一定是\(\text{素元}\).

定义

• \(\text{整环}\) \(R\) 如果满足下列两个条件:

  (1) \(R\) 中每个非零且不可逆的元素 \(a\) 可以分解成有限多个\(\text{不可约元}\)的乘积 $$ a=p_1p_2\cdots p_s; $$
  (2) 上述分解在\(\text{相伴}\)的意义下是唯一的, 即如果 \(a\) 有两个这样的分解式: $$ a=p_1p_2\cdots p_s=q_1q_2\cdots q_t $$ 那么 \(s=t\), 并且可以通过适当的调换位置使得 \(p_i\sim q_i\).

  那么称 \(R\) 是一个唯一因子分解整环或者高斯整环.

定理

• \(\text{整环}\) \(R\) 如果满足下列两个条件:

  (1) 因子链条件: 在\(\text{整环}\) \(R\) 中, 如果序列 \(a_1,a_2,a_3,\ldots\) 中, 每一个 \(a_i\) 是 \(a_{i-1}\) 的\(\text{真因子}\), 那么这个序列是有限序列.

  (2) 每一个\(\text{不可约元}\)都是\(\text{素元}\).

  那么称 \(R\) 是\(\text{唯一因子分解整环}\).

命题

• 设 \(R\) 是\(\text{整环}\), 如果 \(R\) 的每一对元素都有最大公因子, 那么 \(R\) 的每一个不可约元都是\(\text{素元}\).

基于上述命题, 我们可以将定理 中的条件 \(2\) 进行替换.

定理

• 若 \(R\) 是\(\text{唯一因子分解整环}\), 则 \(R\) 的每一对元素都有最大公因子.

定理

• \(\text{主理想整环}\)都是\(\text{唯一因子分解整环}\).

定义

• 设 \(R\) 是\(\text{唯一因子分解整环}\), 任给 \(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in R[x]\). 用 \((a_0,a_1,\ldots,a_n)\) 表示 \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) 的最大公因子. 如果有 \((a_0,a_1,\ldots,a_n)\sim 1\), 那么称 \(f\) 是一个本原多项式.

命题

• \(R[x]\) 中的\(\text{可逆元}\)只能是 \(0\) 次多项式, 且是 \(R\) 的\(\text{可逆元}\). 反之, \(R\) 的\(\text{可逆元}\)也是 \(R[x]\) 的\(\text{可逆元}\). 根据定义, \(R[x]\) 的\(\text{可逆元}\)是零次\(\text{本原多项式}\).

命题

• 若 \(p(x)\) 是 \(R[x]\) 中的一个\(\text{不可约元}\), 则 \(p(x)\neq 0\), \(p(x)\) 不是 \(R\) 的\(\text{可逆元}\), 并且 \(p(x)\) 的因式只有 \(R\) 的\(\text{可逆元}\)和 \(p(x)\) 的\(\text{相伴元}\). 从而 \(p(x)\) 要么是 \(R\) 的一个\(\text{不可约元}\), 要么是一个次数大于 \(0\) 的\(\text{不可约}\)的\(\text{本原多项式}\).

  反之, \(R[x]\) 的一个\(\text{不可约}\)的\(\text{本原多项式}\)是 \(R[x]\) 的一个\(\text{不可约元}\).

引理

• 设 \(R\) 是\(\text{唯一因子分解整环}\), 则 \(R[x]\) 中任一非零多项式 \(f(x)\) 可以写成 $$ f(x)=df_1(x), $$ 其中 \(d\in R\) 且 \(d\neq 0\), \(f_1(x)\) 是一个\(\text{本原多项式}\), 并且 \(d\) 和 \(f_1(x)\) 在\(\text{相伴}\)的意义下由 \(f(x)\) 唯一确定.

引理 高斯引理

• 设 \(R\) 是\(\text{唯一因子分解整环}\), 则 \(R[x]\) 中两个\(\text{本原多项式}\)的乘积还是\(\text{本原多项式}\).

引理

• 设 \(R\) 是\(\text{唯一因子分解整环}\), \(F\) 是 \(R\) 的\(\text{分式域}\), 则 \(R[x]\) 中两个\(\text{本原多项式}\) \(g(x)\) 与 \(f(x)\) 在 \(F[x]\) 中\(\text{相伴}\)当且仅当 \(g(x)\) 与 \(h(x)\) 在 \(R[x]\) 中\(\text{相伴}\).

引理

诺特环

定义

• 设 \(R\) 是一个交换环, 如果 \(R\) 的每一条理想升链 $$ I_1\subsetneqq I_2\subsetneqq I_3\subsetneqq\cdots $$ 都有限, 那么称 \(R\) 满足理想升链条件, 此时称 \(R\) 是一个诺特环 (Noether ring).

推论

• \(\text{主理想整环}\)都是\(\text{诺特环}\).

证明

• 因为\(\text{主理想整环}\)都是\(\text{唯一因子分解整环}\), 则对于该环的每一个\(\text{理想升链}\), 取其中每个主理想的代表元, 就构成了一个因子链, 从而是有限的.

定理

• 设 \(R\) 是一个交换环, 则 \(R\) 是\(\text{诺特环}\)当且仅当 \(R\) 的每一个\(\text{理想}\)都是有限生成的.

定理 希尔伯特 (Hilbert) 基定理

• 如果 \(R\) 是一个有单位元 \(1(\neq 0)\) 的\(\text{诺特环}\), 那么 \(R\) 上的一元多项式环 \(R[x]\) 也是\(\text{诺特环}\).

推论

• 如果 \(R\) 是有幺元的\(\text{诺特环}\), 那么 \(R\) 上的 \(n\) 元多项式环 \(R[x_1,x_2,\ldots,x_n]\) 也是\(\text{诺特环}\).

证明

• 考虑 \(R[x_1,x_2]\) 可以视作 \(R[x_1]\) 上的一元多项式环 \(R[x_1][x_2]\), 从而利用归纳法可知 \(n\) 元多项式环也是诺特环.

命题

• 域 \(F\) 是\(\text{诺特环}\), 因为 \(F\) 只有平凡的理想, 从而 \(F[x_1,x_2,\ldots,x_n]\) 是\(\text{诺特环}\). 因此 \(F[x_1,x_2\ldots,x_n]\) 的每个理想都是有限生成的.