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非线性微分方程组

自治微分方程与非自治微分方程、动力系统

对于一般的 \(n\) 阶非线性微分方程
$$

y^{(n)} = G(t,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)})

$$
可通过变换 \(x_y,x_y',\ldots,x_n=y^{(n-1)}\) 化为如下一阶微分方程组 $$ \wfen{x_1}{t}=x_2,\cdots,\wfen{x_{n-1}}{t}=x_n,\wfen{x_n} t=G(t,x_1,x_2,\ldots,x_n). $$

所以我们接下来研究更一般的一阶微分方程组

$$

\left\lbrace 
\begin{array}  {l}
    \wfen{x_1}t =f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),\\
    \wfen{x_2}t =f_2(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),\\
    \vdots \\
    \wfen{x_n}t =f_n(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),
\end{array}
\right.

$$

我们将上述方程组简记为向量形式
$$

\wfen{\bm x} t=\bm F(t,\bm x)

$$

其中,
$$ \bm x=\left[\begin{array} {c}
x_1\x_2\\vdots\x_n
\end{array}\right],\quad \bm F(t,\bm x)=\left[\begin{array} {c}
f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)\f_2(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)\\vdots\f_n(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)
\end{array}\right]. $$

如果上述方程组有初值
$$

\bm x(t_0)=\bm x_0=(x_{01},x_{02},\ldots,x_{0n})^T.

$$

则该初始值问题也存在类似定理 的解的存在唯一性定理.

定义

• 微分方程组 \eqref{一阶微分方程组} 在 \(n+1\) 维空间 \(\mathbb{R}^{n+1}=\{t,x_1,x_2,\ldots,x_n\}\) 中确定了一个\(\text{向量场}\), 而初始值问题 \eqref{一阶微分方程组向量},\eqref{微分方程组初始值问题} 的解 \(\bm x(t,t_0,\bm x_0)\) 就是向量场中的一条积分曲线. 当 \eqref{一阶微分方程组向量} 中函数 \(\bm F\) 满足解的唯一存在性条件时, 向量场中任一点有且仅有一条积分曲线经过.

定义

• 如果把 \(t\) 理解为时间参数, 只考虑 \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) 构成的空间 \(\mathbb{R}^n\), 我们将这个空间称为方程组 \eqref{一阶微分方程组向量} 的相空间, 积分曲线在相空间的投影曲线称为方程组的轨线.

定义

• 当方程组 \eqref{一阶微分方程组向量} 中的函数 \(\bm F\) 显含 \(t\) 时, 称该方程组为非自治微分方程组.

  如果函数 \(\bm F\) 中不显含 \(t\), 即
  $$

  \wfen{\bm x} t=\bm F(\bm x),
  

$$

则称为**自治微分方程组**.

定义

• 系统 \eqref{一阶微分方程组向量} 的常数解 \(\bm x=\bm x^*\) 称为系统的平衡点(\mydef[微分方程奇点]{奇点}或\mydef[微分方程驻点]{驻点})

定义

• 系统 \eqref{一阶微分方程组向量} 的解 \(\bm x=\bm x(t)\), 若存在常数 \(T>0\) 满足 \(\forall t\in\mathbb{R},s.t.\ \bm x(t+T)=\bm x(t)\). 则称 \(\bm x(t)\) 是一个\mydef[微分方程周期解]{周期解}.

定义

• 设 \eqref{一阶微分方程组向量} 的右端函数 \(\bm F(t,\bm x)\) 对于 \(x\in G\subset\mathbb{R}^n,t\in \mathbb{R}\) 连续, 关于 \(\bm x\) 满足 \(\text{\lpxc}\)且有一个解 \(\bm x=\bm\Phi(t)\).

  现给定 \(t_0\in\mathbb{R}\) 并设 \(\bm\Phi_0=\bm\Phi(t_0)\). 如果对于任意的 \(\varepsilon>0\), 存在至多依赖 \(\varepsilon,t_0\) 的 \(\delta>0\), 使得对于 \eqref{一阶微分方程组向量} 的任意满足 \(x(t_0)=x_0\) 的解 \(x(t,t_0,\bm x_0)\), 只要
  $$

  \Vert \bm x_0-\bm \Phi_0\Vert<\delta
  

$$

就有

$$

    \Vert \bm x(t,t_0,\bm x_0)-\bm\Phi(t)\Vert<\varepsilon,\quad \forall t\geqslant t_0

$$

就称解 $x=\bm\Phi(t)$ 是 $\text{Lyapunov}$ 意义下稳定的, 简称**稳定的**, 否则称**不稳定的**.

特别的, 如果 $\delta$ 至多依赖 $\varepsilon$ 而与 $t_0$ 的取值无关, 那么称该解是 $\text{Lyapunov}$ 一致稳定的.

定义

• 如果 \eqref{一阶微分方程组向量} 的解 \(\bm x=\bm\Phi(t)\) 是稳定的, 且存在一个常数 \(\delta_0>0\), 使得对一切满足
  $$

  \Vert \bm x_0 -\bm\Phi_0\Vert<\delta_0
  

$$
的解 \(\bm x(t,t_0,\bm x_0)\) 都有
$$

\lim\limits_{t\to+\infty}\Vert \bm x(t,t_0,\bm x_0)-\bm\Phi(t)\Vert=0.

$$

则称该解是**渐进稳定的**.

定义

• 如果 \eqref{一阶微分方程组向量} 的解 \(\bm x=\bm\Phi(t)\) 是渐进稳定的且存在区域 \(D_0\), 只要 \(\bm x_0\in D_0\) 就有 $$
  \lim\limits_{t\to+\infty}\Vert \bm x(t,t_0,\bm x_0)-\bm\Phi(t)\Vert=0. $$ 则称 \(D_0\) 为该解的吸引域.

  特别的, 如果某个解的吸引域是全空间, 则称此解是全局渐进稳定的.

注

• 在研究某个解的稳定性时, 总可以用变换
  $$

  \bm y(t)=\bm x(t)-\bm\Phi(t)
  

$$
从而将 \eqref{一阶微分方程组向量} 化为
$$

\wfen{\bm y}{t}=\bm G(t,\bm y),

$$

其中 $\bm G(t,\bm y)=\bm F(t,\bm y+\bm\Phi)-\bm F(t,\bm\Phi)$.
且显然有 $\bm G(t,\bm 0)=0$. 即该特解对应着新方程的零解, 所以我们接下来主要研究零解.

• 试给出一阶微分方程 $$ \wfen x t=a(t)x $$ 的零解稳定或渐进稳定的充要条件.

解:

• 该方程的解为 \(x(t)=x(0)e^{\int_0^t a(s)\text{d} s}\).

  根据稳定性定义, 取 \(t_0=0\), 则要求 \(|x_0|<\delta\) 时 \(|x(t)|<\varepsilon\)

  那么则需要 \(e^{\int_0^t a(s)\text{d} s}\) 有界.

  渐近稳定, 又需满足 \(\lim\limits_{t\to+\infty}\Vert \bm x(t)\Vert=0\).

  那么还需要条件 \(\lim\limits_{t\to+\infty}e^{\int_0^t a(s)\text{d} s}=0\).

• 给定极坐标系下的微分方程 $$ \wfen{\theta} t=1,\quad \wfen{r}{t}=\left\lbrace \begin{array} {ll}
  r^2\sin\dfrac 1 r, & r>0,\\ 0, & r=0.
  \end{array}\right. $$

(1) 证明平衡点 \((0,0)\) 是稳定的, 但不是渐近稳定的.
(2) 试作出 \((0,0)\) 邻域的相图.

(1)

**证明**

-   当 $r\in(\dfrac{1}{2k\pi+\pi},\dfrac{1}{2k\pi})$ 时, $\wfen{r}{t}>0$, 那么当 $r_0$ 在这个区间内时, 根据 $r$ 的连续性且 $r=\dfrac 1{2k\pi}$ 时 $\wfen r t=0$, 可推出 $r(t)\leqslant \dfrac{1}{2k\pi}$.

    类似的可以证明 $r(t)\geqslant\dfrac{1}{2k\pi+\pi}$.

    那么只需取最大的 $k$ 满足 $\dfrac 1{2k\pi}<\sqrt{\varepsilon}$, 那么当 $r_0^2<\delta=\dfrac 1{2k\pi}$ 时就有 $r(t)^2<\varepsilon$. 进而说明 $(0,0)$ 是稳定的.

    同时在上述过程中我们也说明了 $r(t)$ 在 $t\to+\infty$ 时不是 $0$.

自治微分方程组解的性质

解:

• 解空间: \(x(t)=x_0\cos t,y(t)=x_0\sin t\).

  轨线: \(x^2+y^2=x_0^2\).

解:

-