复变量函数的概念

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复变量函数的概念

定义

定义

• 设 \(1\)

常用变换:

(1) 平移变换: 线性函数 \(w=z+z_0\) 其中 \(z_0\) 为常数, 这个函数把所有点向 \(z_0\) 方向, 平移 \(|z_0|\) 的距离.
(2) 相似变换: 线性函数 \(w=az\), 其中 \(a\in \mathbb{R}_{>0}\).
(3) 旋转变换: 线性函数 \(w=az\), 其中 \(|a|=1\wedge a\notin \mathbb{R}\).
(4) 任何一个线性函数 \(w=az+b\) 都可以表示为平移、旋转和相似变换的复合.
(5) 分式线性变换: \(w=\dfrac{az+b}{cz+d},\ (ad-bc\neq 0)\).

基本事实: 一个复变量函数可以用两个二元实函数表出. \(f(z)=u(x,y)+\text{i} v(x,y)\).

以 \(e\) 为底的指数函数 \(z=x+\text{i} y,e^z=e^{x+\text{i} y}=e^x(\cos y+\text{i}\sin y)\).

定义

• 设 \(\Gamma\) 是一个以 \(A\) 为中心、以 \(R\) 为半径的圆周. 对于给定的一点 \(P\neq A\), 若一点 \(Q\) 满足:

• \(A,P,Q\) 共线.

• 向量 \(\overrightarrow{AP}\) 与 \(\overrightarrow{AQ}\) 有相同的方向.

• \(|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AQ}|=R^2\).

  则称 \(Q\) 是点 \(P\) 关于圆周 \(\Gamma\) 的对称点.

反演

定义

• 把点对应到关于圆周 \(\Gamma\) (或直线 \(L\)) 的对称点的映射, 称为关于 \(\Gamma\) (或 \(L\)) 的反演变换.

例

• 映射 \(z\to\overline{z}\) 就是关于实轴的反演变换.

  映射 \(z\to\dfrac{1}{z}\) 也就是倒数变换, 就是关于单位圆的反演变换.

命题

• 任何一个分式线性变换总可以表成平移、旋转、相似和倒数变换的复合.

反函数

定义

• 反函数: 对于双射 \(f\), 其逆映射称为反函数.

有界函数与周期函数

定义

• 设 \(f(z)\) 在集合 \(E\) 中有定义. 如果存在一个正的实数 \(M\) 使得 $$ |f(z)|\leqslant M,\quad \forall z\in E $$ 则称之为有界函数.

定义

• 设 \(f(z)\) 在 \(\mathbb{C}\) 上有定义. 若存在一个复数 \(\omega\) 使得下式成立: $$ f(z+\omega)=f(z),\quad \forall z\in\mathbb{C}, $$ 则称 \(f(z)\) 是一个周期函数, 并称 \(\omega\) 是它的一个周期.