复变函数第二章作业

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第二章

习题 2.1

1. 证明: 函数 \(e^{x+\text{i} y}=e^x(\cos y+\text{i}\sin y)\) 是以 \(2\pi\text{i}\) 为周期的函数.

证明

• \(e^{x+\text{i} y+2\pi\text{i}}=e^{x+\text{i}(y+2\pi)}=e^x(\cos (y+2\pi)+\text{i}\sin(y+2\pi))=e^x(\cos y\text{i}\sin y)=e^{x+\text{i} y}\). 所以其是以 \(2\pi\text{i}\) 为周期的函数.

2. 证明: 指数函数 \(w=e^z\) 有以下性质:
   $$ e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2},\quad \forall z_1,z_2\in\mathbb{C}. $$

证明

• \[ \begin{aligned} e^{z_1}e^{z_2}&=e^{x_1}(\cos y_1+\text{i}\sin y_1)e^{x_2}(\cos y_2+\text{i}\sin y_2) \\ &=e^{x_1+x_2}(\cos y_1\cos y_2-\sin y_1\sin y_2+\text{i}(\cos y_1\sin y_2+\sin y_1\cos y_2)) \\ &=e^{x_1+x_2}(\cos(y_1+y_2)+\text{i}\sin(y_1+y_2))\\ &=e^{z_1+z_2}. \end{aligned} \]

6.