2.1.4

设 $y(t)\in C[0,1]$, 定义 $C[0,1]$ 上的泛函 $$f(x)=\int_0^1 x(t)y(t)\text{d} t\quad (\forall x\in C[0,1]),$$ 求 $\Vert f \Vert$.

1.4.9

在 $\mathbb{R}^2$ 中, 对 $\forall x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$, 定义范数
$$
\Vert x \Vert = \max(|x_1|, |x_2|),
$$
并设 $e_1 = (1, 0)$, $x_0 = (0, 1)$. 求 $a \in \mathbb{R}$ 适合
$$
\Vert x_0 - a e_1 \Vert = \min_{\lambda \in \mathbb{R}} \Vert x_0 - \lambda e_1 \Vert,
$$
并问这样的 $a$ 是否唯一? 请对结果做出几何解释.

Question 1:

有一推销员, 从城市 $v_0$ 出发, 要依次访问城市 $v_1, v_2, \dots, v_n$ 各一次, 最后返回到 $v_0$. 已知从 $v_i$ 到 $v_j$ 的旅费为 $c_{ij}$, 对于任意的 $v_i$ 和 $v_j$, 问他应按怎样的次序访问这些城市, 使得总旅费最小?

1.4.1

在二维空间 $\mathbb{R}^2$ 中, 对每一点 $z = (x, y)$, 令 $$ |z|_1 = |x| + |y|; \quad |z|_2 = \sqrt{x^2 + y^2}; \quad |z|_3 = \max(|x|, |y|); \quad |z|_4 = (x^4 + y^4)^{\frac{1}{4}}. $$

(1) 求证 $|\cdot|_i$ ($i=1,2,3,4$) 都是 $\mathbb{R}^2$ 的范数.

(2) 画出 $(\mathbb{R}^2, |\cdot|_i)$ ($i=1,2,3,4$) 各空间中的单位球面图形.

(3) 在 $\mathbb{R}^2$ 中取定三点 $O = (0,0)$, $A = (1,0)$, $B = (0,1)$, 试在上述四种不同范数下求出 $\triangle OAB$ 三边的长度.

1.3.5

设 $M$ 是 $C[a,b]$ 中的有界集, 求证: 集合 $${F(x)=\int_a^x f(t),\mathrm{d} t,|,f\in M}$$ 是列紧集.

Homework 1

Question 1

使用单纯形法来求解如下优化问题：
要求： 将其转化为标准形式，列出单纯形表手算作答。